Question

如圖，四棱錐P－ABCD的底面是矩形，側面PAD
是正三角形，且側面PAD⊥底面ABCD，E為側棱PD的中點．
（I）試判斷直線PB與平面EAC的關系
（文科不必證明，理科必須證明）；
（II）求證：AE⊥平面PCD；
（III）若AD＝AB，試求二面角A－PC－D
的正切值.

Answer 1

（I）PB∥平面EAC．（II）證明見解析 ，（III）二面角A－PC－D的正切值為．  

解法一：
（I）PB∥平面EAC．證明如下：
連結BD交AC于點O，連結EO，則O為BD的中點，
又∵E為PD的中點，∴EO∥PB，∴PB∥平面EAC．
（II）∵CD⊥AD，且側面PAD⊥底面ABCD，
而側面PAD底面ABCD＝AD，
∴CD⊥側面PAD，∴CD⊥AE．
∵側面PAD是正三角形，E為側棱PD的中點，
∴AE⊥PD，∴AE⊥平面PCD；     
（III）過E作EM⊥PC于M，連結AM，由（2）及三垂線定理知AM⊥PC．
∴∠AME為二面角A－PC－D的平面角．                               10分
由正三角形PAD及矩形ABCD，且AD＝AB，∴PD＝AD＝AB＝DC，
∴在等腰直角三角形DPC中，設AB＝a，則AE＝a，PC＝a，EM＝×a． 12分
在△AEM中，tan∠AME＝＝＝． 
即二面角A－PC－D的正切值為．        
解法二：（I）同解法一                   

（II）設N為AD中點，Q為BC中點，則因為△PAD是正三角形，底面ABCD是矩形，所以，PN⊥AD，QN⊥AD，又因為側面PAD⊥底面ABCD，所以，PN⊥面ABCD，QN⊥面PAD，以N為坐標原點，NA、NQ、NP所在直線分別為x，y，z軸如圖建立空間直角坐標系．設AD＝1，AB＝a，則，，，，，．                                                                                                   
∴，，.
∴，.
∴．又，PD，DC面PDC，
∴AE⊥平面PCD；            
（III）當a＝1時，由（2）可知：是平面PDC的法向量，
設平面PAC的法向量為，則，，
即，取x＝1，可得：y＝1，z＝．所以，．    
向量與所成角的余弦值為：．  
∴tanq＝．                                                             
又由圖可知，二面角A－PC－D的平面角為銳角，所以二面角A－PC－D的平面角就是向量與所成角的補角．其正切值等于.                                       14分