Question

已知函數f(x)＝6cos²＋sinωx－3(ω>0)在一個周期內的圖象如圖所示，A為圖象的最高點，B、C為圖象與x軸的交點，且△ABC為正三角形．

(1)求ω的值及函數f(x)的值域；
(2)若f(x₀)＝，且x₀∈(－，)，求f(x₀＋1)的值．

Answer 1

（1）函數f(x)的值域為[－2，2]．
（2）

解：(1)由已知可得f(x)＝6cos²＋sinωx－3＝3cosωx＋sinωx＝2sin(ωx＋)，
又正三角形ABC的高為2，則|BC|＝4，
所以函數f(x)的最小正周期T＝4×2＝8，即＝8，得ω＝，
函數f(x)的值域為[－2，2]．
(2)因為f(x₀)＝，由(1)得
f(x₀)＝2sin(＋)＝，
即sin(＋)＝，
由x₀∈(－，)，得＋∈(－，)，
即cos(＋)＝＝，
故f(x₀＋1)＝2sin(＋＋)
＝2sin[(＋)＋]
＝2 [sin(＋)cos＋cos(＋)sin]
＝2×(×＋×)
＝．