Question

（2004•朝陽區一模）（Ⅰ）解關于x的不等式（lgx）²-lgx-2＞0；
（Ⅱ）若不等式（lgx）²-（2+m）lgx+m-1＞0對于|m|≤1恒成立，求x的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）把lgx看作一個整體（未知數），此不等式是關于lgx的一元二次不等式，先解出lgx的取值范圍，進而利用對數函數的單調性即可得出x的取值范圍；
（II）設y=lgx，則原不等式可化為y²-（2+m）y+m-1＞0，y²-2y-my+m-1＞0．即（1-y）m+（y²-2y-1）＞0．當y=1時，不等式不成立．設f（m）=（1-y）m+（y²-2y-1），則f（x）是m的一次函數，利用一次函數的單調性即可解出．

解答：解：（Ⅰ）∵（lgx）²-lgx-2＞0，
∴（lgx+1）（lgx-2）＞0．
∴lgx＜-1或lgx＞2．
∴0＜x＜

1

10

或x＞102．
（Ⅱ）設y=lgx，則原不等式可化為y²-（2+m）y+m-1＞0，∴y²-2y-my+m-1＞0．
∴（1-y）m+（y²-2y-1）＞0．
當y=1時，不等式不成立．
設f（m）=（1-y）m+（y²-2y-1），則f（x）是m的一次函數，且一次函數為單調函數．
當-1≤m≤1時，若要f(m)＞0?

f(1)＞0 f(-1)＞0.

?

y2-2y-1+1-y＞0 y2-2y-1+y-1＞0.

?

y2-3y＞0 y2-y-2＞0.

?

y＜0或y＞3 y＜-1或y＞2.

則y＜-1或y＞3．
∴lgx＜-1或lgx＞3．
∴0＜x＜

1

10

或x＞10³．
∴x的取值范圍是(0，

1

10

)∪(103，+∞)．

點評：熟練掌握換元法、等價轉化法、一元二次不等式的解法、一次函數的單調性是解題的關鍵．