Question

如圖，四棱錐P －ABCD的底面是矩形，側(cè)面PAD是正三角形，且側(cè)面PAD⊥底面ABCD，E 為側(cè)棱PD的中點(diǎn)。
（1）證明：PB//平面EAC；
（2）若AD="2AB=2," 求直線PB與平面ABCD所成角的正切值；

Answer 1

（1）詳見解析；（2）.

試題分析：（1）要證平面，根據(jù)線面平行的判定定理，只需證明平行于平面中的一條直線．連接交于，連接，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824050945898424.png" style="vertical-align:middle;" />分別為的中點(diǎn)，根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)，可知，從而問題得證；
（2）設(shè)為中點(diǎn)，連接，則，從而可得為直線與平面所成的角，進(jìn)而可求與平面所成角正切值；
解：（1）連結(jié)BD交AC于O，連結(jié)EO,
因?yàn)镺、E分別為BD、PD的中點(diǎn), 所以EO//PB,    2分
,所以PB//平面EAC。 5分
（2）設(shè)N為AD中點(diǎn)，連接PN，則   6分
又面PAD⊥底面ABCD，所以，PN⊥底面ABCD        7分
所以為直線PB與平面ABCD所成的角,      8分
又AD=2AB=2,則PN=,              10分
所以tan=，  12分；所以PB與平面ABCD所成角正切為值  13分