Question

【題目】某鎮在政府“精準扶貧”的政策指引下，充分利用自身資源，大力發展養殖業，以增加收入，政府計劃共投入72萬元，全部用于甲、乙兩個合作社，每個合作社至少要投入15萬元，其中甲合作社養魚，乙合作社養雞，在對市場進行調研分析發現養魚的收益M、養雞的收益N與投入a（單位：萬元）滿足，N＝a+20．設甲合作社的投入為x（單位：萬元），兩個合作社的總收益為f（x）（單位：萬元）．

（1）當甲合作社的投入為25萬元時，求兩個合作社的總收益；

（2）試問如何安排甲、乙兩個合作社的投入，才能使總收益最大，最大總收益為多少萬元？

Answer 1

【答案】（1）88.5萬元

（2）該公司在甲合作社投入16萬元，在乙合作社投入56萬元，總收益最大，最大總收益為89萬元

【解析】

根據題意，當甲合作社投入為25萬元時，乙合作社投入為47萬元，分別代入其收益與投入的函數式，最后求和即可。

首先確定函數定義域，然后結合分段函數的解析式分類討論確定最大收益的安排方法即可得出答案。

解：（1）當甲合作社投入為25萬元時，乙合作社投入為47萬元，此時兩個個合作社的總收益為：

＝88.5（萬元）；

（2）甲合作社的投入為x萬元（15≤x≤57），則乙合作社的投入為72﹣x萬元，

當15≤x≤36時，則36≤72﹣x≤57，

f（x）＝4+25+（72﹣x）+20＝﹣x+4+81．

令t＝，得≤t≤6，

則總收益為g（t）＝﹣t2+4t+81＝﹣（t﹣4）2+89，

顯然當t＝4時，函數取得最大值g（t）＝89＝f（16），

即此時甲投入16萬元，乙投入56萬元時，總收益最大，最大收益為89萬元

當36＜x≤57時，則15＜72﹣x≤36，

則f（x）＝49+（72﹣x）+20＝﹣x+105，

則f（x）在（36，57]上單調遞減，

∴f（x）＜f（36）＝87．

即此時甲、乙總收益小于87萬元．

又89＞87，

∴該公司在甲合作社投入16萬元，在乙合作社投入56萬元，總收益最大，最大總收益為89萬元．