Question

【題目】已知橢圓C： （a＞0，b＞0）的離心率為 ，點A（0，﹣2）與橢圓右焦點F的連線的斜率為 ．
（1）求橢圓C的方程；
（2）O為坐標原點，過點A的直線l與橢圓C相交于P，Q兩點，當△OPQ的面積最大時，求直線l的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：設F（c，0）．

∵直線AF的斜率為 ，

∴ = ，解得c= ．

又離心率為e= = ，

由b2=a2﹣c2，解得：a=2，b=1，

∴橢圓E的方程為 +y2=1．

（2）解：設P（x1，y1），Q（x2，y2），由題意可設直線l的方程為：y=kx﹣2，與橢圓方程聯立，

整理得：（1+4k2）x2﹣16kx+12=0，當△=16（4k2﹣3）＞0時，即k2＞ 時，

x1+x2= ，x1x2= ，

∴|PQ|= ，

∵點O到直線l的距離d= ，

∴S△OPQ= d|PQ|= ，

設 =t＞0，則4k2=t2+3，

∴S△OPQ= = ≤1，

當且僅當t=2，即 =2，解得k=± 時取等號，且滿足△＞0，

∴△OPQ的面積最大時，直線l的方程為：y=± x﹣2

【解析】（1）設F（c，0），利用直線的斜率公式可得關于c的方程，求出c，由離心率e= = ，求得a，由b2=a2﹣c2 ， 求得b的值，即可求得橢圓C的方程；（2）設P（x1 ， y1），Q（x2 ， y2），由題意可設直線l的方程為：y=kx﹣2，與橢圓的方程聯立可得（1+4k2）x2﹣16kx12=0，求出方程的根，從而表示出|PQ|以及點O到直線PQ的距離，從而表示出S△OPQ ， 再利用基本不等式的性質即可得出直線l的方程．