Question

【題目】如圖，設A是由個實數組成的n行n列的數表，其中aij (i，j=1，2，3，…，n)表示位于第i行第j列的實數，且aij{1，-1}.記S(n，n)為所有這樣的數表構成的集合．對于，記ri (A)為A的第i行各數之積，cj (A)為A的第j列各數之積．令

a11	a12	…	a1n
a21	a22		a2n
…	…	…	…
an1	an2	…	ann

（Ⅰ）請寫出一個AS(4，4)，使得l(A)=0；

（Ⅱ）是否存在AS(9，9)，使得l(A)=0？說明理由；

（Ⅲ）給定正整數n，對于所有的AS(n，n)，求l(A)的取值集合．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）答案見解析；（Ⅱ）不存在，理由見解析；（Ⅲ）

【解析】

（Ⅰ）可取第一行都為-1，其余的都取1，即滿足題意；

（Ⅱ）用反證法證明：假設存在，得出矛盾，從而證明結論；

（Ⅲ）通過分析正確得出l(A)的表達式，以及從A0如何得到A1，A2……，以此類推可得到Ak．

（Ⅰ）答案不唯一，如圖所示數表符合要求.

（Ⅱ）不存在AS(9，9)，使得l(A)=0，證明如下:

假如存在，使得.

因為，，

所以，，...，，，，...，這18個數中有9個1，9個-1.

令.

一方面，由于這18個數中有9個1，9個-1，從而①，

另一方面，表示數表中所有元素之積（記這81個實數之積為m）；

也表示m，從而②，

①，②相矛盾，從而不存在，使得.

（Ⅲ）記這個實數之積為p.

一方面，從“行”的角度看，有；

另一方面，從“列”的角度看，有；

從而有③，

注意到，，

下面考慮，，...，，，，...，中-1的個數，

由③知，上述2n個實數中，-1的個數一定為偶數，該偶數記為，則1的個數為2n-2k，

所以，

對數表，顯然.

將數表中的由1變為-1，得到數表，顯然，

將數表中的由1變為-1，得到數表，顯然，

依此類推，將數表中的由1變為-1，得到數表，

即數表滿足：，其余，

所以，，

所以，

由k的任意性知，l（A）的取值集合為.