Question

在空間直角坐標系O-xyz中，=（其中分別為x軸、y軸、z軸正方向上的單位向量）．有下列命題：
①若=且|，則的最小值為2
②若，若向量與共線且||，則動點P的軌跡是拋物線；
③若=，則平面MQR內的任意一點A（x，y，z）的坐標必須滿足關系式=1；
④設，，，若向量與共線且||，則動點P的軌跡是雙曲線的一部分．
其中你認為正確的所有命題的序號為    ．

Answer 1

【答案】分析：命題①利用|得到兩個正數x，y的關系，求的最小值時只要把“1”代入展開后利用基本不等式求最值；
命題②由已知求出向量，由與共線且||列式得到動點P的軌跡；
命題③利用M在平面MQR中，由共面向量基本定理得到，且λ+μ+t=1，由坐標相等得到
λ，μ，t，則結論得證；
命題④由已知的向量得到向量與的坐標，利用條件與共線且||，列式得到結論．
解答：解：對于①，由=且|，
所以，即．
又x＞0，y＞0．所以=．
所以命題①不成立；
對于②，由，
所以．
由與共線且||，得，
整理得：y²=-2z+1．
所以動點P的軌跡是拋物線，命題②正確；
對于③，由=，則平面MQR內的任意一點
A（x，y，z）滿足，即（x，y，z）=λ（a，0，0）+μ（0，b，0）+t（0，0，c）
所以x=λa，y=μb，z=tc．所以．
由λ+μ+t=1，得=1．所以③正確；
對于④，由，，，得，．
由向量與共線且||，得
，整理得：y²-x²=1（0≤x≤4，-4≤y≤4）．
所以動點P的軌跡是雙曲線的一部分，所以④正確．
故正確的答案為②③④．
點評：本題考查了圓錐曲線的軌跡問題，考查了向量的共線即垂直的條件，考查了空間向量的坐標加法與減法運算，該題題目敘述冗長，考查了學生的讀題能力，屬有一定難度題目．