Question

在空間直角坐標系O-xyz中，已知

OA

=(1，2，3)，

OB

=(2，1，2)，

OP

=(1，1，2)，點Q在直線OP上運動，則當

QA

•

QB

取得最小值時，點Q的坐標為（　�。�

• A．(

  1

  2

  ，

  3

  4

  ，

  1

  3

  )
• B．(

  1

  2

  ，

  3

  2

  ，

  3

  4

  )
• C．(

  4

  3

  ，

  4

  3

  ，

  8

  3

  )
• D．(

  4

  3

  ，

  4

  3

  ，

  7

  3

  )

Answer 1

分析：由點Q在直線OP上運動，可得存在實數λ使得

OQ

=λ

OP

=（λ，λ，2λ），利用數量積可得

QA

•

QB

，再利用二次函數的單調性即可得出．

解答：解：∵點Q在直線OP上運動，∴存在實數λ使得

OQ

=λ

OP

=（λ，λ，2λ），
∴

QA

=(1-λ，2-λ，3-2λ)，

QB

=(2-λ，1-λ，2-2λ)．
∴

QA

•

QB

=（1-λ）（2-λ）+（2-λ）（1-λ）+（3-2λ）（2-2λ）
=6λ²-16λ+10=6(λ-

4

3

)2+

74

9

，
當且僅當λ=

4

3

時，上式取得最小值，
∴Q(

4

3

，

4

3

，

8

3

)．
故選C．

點評：熟練掌握向量共線定理、數量積運算、二次函數的單調性等是解題的關鍵．