Question

【題目】已知函數f（x）=ex﹣ax（a為常數）的圖象與y軸交于點A，曲線y=f（x）在點A處的切線斜率為﹣1．
（1）求a的值及函數f（x）的極值；
（2）證明：當x＞0時，x2＜ex；
（3）證明：對任意給定的正數c，總存在x0 ， 使得當x∈（x0 ， +∞）時，恒有x＜cex ．

Answer 1

【答案】
（1）解：由f（x）=ex﹣ax得f′（x）=ex﹣a．

又f′（0）=1﹣a=﹣1，∴a=2，

∴f（x）=ex﹣2x，f′（x）=ex﹣2．

由f′（x）=0得x=ln2，

當x＜ln2時，f′（x）＜0，f（x）單調遞減；

當x＞ln2時，f′（x）＞0，f（x）單調遞增；

∴當x=ln2時，f（x）有極小值為f（ln2）=eln2﹣2ln2=2﹣ln4．

f（x）無極大值

（2）證明：令g（x）=ex﹣x2，則g′（x）=ex﹣2x，

由（1）得，g′（x）=f（x）≥f（ln2）=eln2﹣2ln2=2﹣ln4＞0，即g′（x）＞0，

∴當x＞0時，g（x）＞g（0）＞0，即x2＜ex

（3）證明：對任意給定的正數c，總存在x0= ＞0．當x∈（x0，+∞）時，

由（2）得ex＞x2＞ x，即x＜cex．

∴對任意給定的正數c，總存在x0，使得當x∈（x0，+∞）時，恒有x＜cex

【解析】（1）利用導數的幾何意義求得a，再利用導數法求得函數的極值；（2）構造函數g（x）=ex﹣x2，利用導數求得函數的最小值，即可得出結論；（3）利用（2）的結論，令x0= ，則ex＞x2＞ x，即x＜cex．即得結論成立．