Question

已知函數f（x）=，g（x）=sinx-x（其中常數a，b∈R，π是圓周率）．
（I）當a=1時，若函數f（x）是奇函數，求f（x）的極值點；
（II）求函數f（x）的單調遞增區間；
（III）當b=0，a∈（，π]時，求函數g（x）在[0，a]上的最小值h（a），并探索：是否存在滿足條件的實數a，，使得對任意的x∈R，f（x）＞h（a）恒成立．

Answer 1

【答案】分析：（I）根據所給的函數是一個奇函數，寫出奇函數成立的等式，整理出b的值是0，得到函數的解析式，對函數求導，使得導函數等于0，求出極值點．
（II）要求函數的單調增區間，首先對函數求導，使得導函數大于0，解不等式，注意不等式大于0相當于分子大于0，問題轉化為一元二次不等式的解，針對于a和b的值進行討論．
（III）先對于函數求導，根據函數的單調性看出函數的最值在x=0取到，寫出函數的最小值，得到恒成立的問題成立時，存在a的值．
解答：解：（I）∵函數f（x）是奇函數，有f（-x）=-f（x）成立，
即
∴b=0，
∴f（x）=，
∴f^′（x）=0時，x=±1，
∴經檢驗x=±1是函數的極值點．
（II）∵函數f（x）=，
∴=
從f^′（x）＞0，
得ax²+2bx-a＜0，
當a=0，b=0時，不存在遞增區間，
當a=0，b≠0時，
b＞0時，遞增區間是（-∞，0）
b＜0，遞增區間是（0，+∞）
當a＞0，單調遞增區間是[]
當a＜0，單調遞增區間是（-]和[）
（III）∵，
令g^′（x）=0，得cosx=，
當x變化時，g（x）先增后減，
∴函數g（x）在[0，a]上的最小值h（a）=g（0），
即存在滿足條件的實數a=0，使得對任意的x∈R，f（x）＞h（a）恒成立．
點評：本題考查函數的綜合題目，是一個以考查函數的單調性和最值為主的題目，解題過程中要用到一元二次不等式的解法，并且針對于一元二次不等式的字母系數的討論要注意．