Question

已知函數(shù)f（x）=x²-bx的圖象在點(diǎn)A（1，f（1））處的切線l與直線3x-y+2=0平行，若數(shù)列{

1

f(n)

}的前n項(xiàng)和為S_n，則S₂₀₁₀的值為（　　）

• A、

  2011

  2012

• B、

  2010

  2011

• C、

  2009

  2010

• D、

  2008

  2009

Answer 1

分析：因?yàn)榈膱D象在點(diǎn)A（1，f（1））處的切線l與直線3x-y+2=0平行，所以利用導(dǎo)函數(shù)的幾何含義可以求出b=-1，所以數(shù)列{

1

f(n)

}的通項(xiàng)公式可以具體，進(jìn)而由數(shù)列的通項(xiàng)公式選擇求和方法即可求解．

解答：解；∵函數(shù)f（x）=x²-bx的圖象在點(diǎn)A（1，f（1））處的切線l與直線3x-y+2=0平行，
由f（x）=x²-bx求導(dǎo)得：f^′（x）=2x-b，
由導(dǎo)函數(shù)得幾何含義得：f^′（1）=2-b=3?b=-1，∴f（x）=x²+x
所以f（n）=n（n+1），∴數(shù)列{

1

f(n)

}的通項(xiàng)為

1

f(n)

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
所以

1

f(n)

的前n項(xiàng)的和即為T_n，
則利用裂項(xiàng)相消法可以得到：Tn=(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+(

1

3

+

1

4

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)=1-

1

n+1

  
所以數(shù)列的前2010項(xiàng)的和為：T₂₀₁₀=1-

1

2011

=

2010

2011

．
故答案選：B

點(diǎn)評(píng)：此題考查了導(dǎo)函數(shù)的幾何含義及方程的思想，還考查了利用利用裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的前n項(xiàng)和的方法．