Question

【題目】設橢圓的左焦點為，上頂點為.已知橢圓的短軸長為4，離心率為.

（1）求橢圓的方程；

（2）設點在橢圓上，且異于橢圓的上、下頂點，點為直線與軸的交點，點在軸的負半軸上．若（為原點），且，求證：直線的斜率與直線MN的斜率之積為定值．

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見解析

【解析】

(1)由題意可得，運用離心率公式和，，的關系，可得，，進而得到所求橢圓方程;

(2)由題意設，直線的方程為，聯立橢圓方程，求得的坐標，再求出的坐標，由，運用斜率之積為，可以得出的值，結合即可得結果.

(1)設橢圓的半焦距為，依題意，

又，

可得，，

所以橢圓的方程為.

(2)由題意設.

設直線的斜率為，

又，則直線的方程為，

與橢圓方程聯立整理得，

可得，代入得，

進而直線的斜率.

在中，令，得.

由題意得，所以直線的斜率為.

由，得，化簡得.

∴.

所以直線與直線的斜率之積為定值.