Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，已知A（﹣2，0），B ，M（x，y）是曲線C上的動點，且直線AM與BM的斜率之積等于.

（1）求曲線C方程；

（2）過D（2，0）的直線l（l與x軸不垂直）與曲線C交于E，F兩點，點F關于x軸的對稱點為F′，直線EF′與x軸交于點P，求△PEF的面積的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（y≠0）；（2）（0，4）

【解析】

（1）利用斜率公式由題意可得：，化簡即可得到曲線方程；（2）聯立直線與橢圓方程，利用根與系數的關系求出點的坐標，在求出的面積，利用換元法得到，再令利用導數得到，從而得出的面積的取值范圍．

（1）由題意可得：，

化簡得：，

故曲線C方程為：（y≠0）；

（2）設E（x1，y1），F（x2，y2），由題意可知直線l的斜率存在且不為零，

設直線l的方程為x＝my+2（m≠0），代入化簡并整理得：（m2+4）y2+4my﹣8＝0，

∴y1+y2，y1y2，

由題意可知，F'（x2，﹣y2）且x1≠x2，∴直線EF'的方程為y﹣y1（x﹣x1），

令y＝0得，x＝x12＝6，

∴點P（0，6），

∴S△PEF2，

令t，則t＞2，S△PEF，

∵f（t）＝t在（2，+∞）上單調遞增，∴f（t）＞3，

∴0＜S△PEF＜4，

∴△PEF的面積的取值范圍為（0，4）.