Question

（本小題滿分10分）選修4-1：幾何證明選講
如圖，已知的兩條角平分線和相交于H，，F在上，且。

（Ⅰ）證明：B、D、H、E四點共圓；
（Ⅱ）證明：平分。

Answer 1

（Ⅰ）證明見解析。
（Ⅱ）證明見解析。

（Ⅰ）在△ABC中，因為∠B=60°，
所以∠BAC+∠BCA=120°。
因為AD，CE是角平分線，
所以∠HAC+∠HCA=60°，
故∠AHC=120°。
于是∠EHD=∠AHC=120°。
因為∠EBD+∠EHD=180°，
所以B、D、H、E四點共圓。
（Ⅱ）連結BH，則BH為∠ABC的平分線，得∠HBD=30°
由（Ⅰ）知B、D、H、E四點共圓，
所以∠CED=∠HBD=30°。
又∠AHE=∠EBD=60°，由已知可得EF⊥AD，
可得∠CEF=30°。
所以CE平分∠DEF。