Question

選修4-5：不等式選講
設函數f（x）=|2x+1|-|x-3|．
（1）解不等式f（x）＞0；
（2）已知關于x的不等式a+3＜f（x）恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）通過分類討論，去掉絕對值函數中的絕對值符號，轉化為分段函數，即可求得不等式f（x）＞0的解集；
（2）構造函數g（x）=f（x）-3，關于x的不等式a+3＜f（x）恒成立?a＜f（x）-3恒成立?a＜g（x）_min，先求得f（x）_min，再求g（x）_min即可．

解答：解：（1）∵f（x）=|2x+1|-|x-3|=

-x-4，x＜- 1 2 3x-2，- 1 2 ≤x≤3 x+4，x＞3

，
∵f（x）＞0，
∴①當x＜-

1

2

時，-x-4＞0，
∴x＜-4；
②當-

1

2

≤x≤3時，3x-2＞0，
∴

2

3

＜x≤3；
③當x＞3時，x+4＞0，
∴x＞3．
綜上所述，不等式f（x）＞0的解集為：（-∞，-4）∪（

2

3

，+∞）…（5分）
（2）由（1）知，f（x）=

-x-4，x＜- 1 2 3x-2，- 1 2 ≤x≤3 x+4，x＞3

，
∴當x≤-

1

2

時，-x-4≥-

7

2

；
當-

1

2

＜x＜3時，-

7

2

＜3x-2＜7；
當x≥3時，x+4≥7，
綜上所述，f（x）≥-

7

2

．
∵關于x的不等式a+3＜f（x）恒成立，
∴a＜f（x）-3恒成立，
令g（x）=f（x）-3，則g（x）≥-

13

2

．
∴g（x）_min=-

13

2

．
∴a＜g（x）_min=-

13

2

…10 分

點評：本題考查帶絕對值的函數，考查分類討論思想與構造函數的思想，考查恒成立問題，屬于難題．