Question

選修4-5：不等式選講
設x，y，z∈（0，+∞），且x+y+z=1，求

1

x

+

4

y

+

9

z

的最小值．

Answer 1

分析：利用題中條件：“x+y+z=1”構造柯西不等式（x+y+z）（

1

x

+

4

y

+

9

z

）≥（1+2+3）²這個條件進行計算即可．

解答：解：由x+y+z=1可知

1

x

+

4

y

+

9

z

=（x+y+z）（

1

x

+

4

y

+

9

z

）．
由柯西不等式得（x+y+z）（

1

x

+

4

y

+

9

z

）≥（1+2+3）²=36．
當且僅當

x

1

=

y

2

=

z

3

，即x=

1

6

，y=

1

3

，z=

1

2

時，等號成立．
所以，

1

x

+

4

y

+

9

z

的最小值為36．

點評：本題考查用綜合法證明不等式，關鍵是利用（x+y+z）（

1

x

+

4

y

+

9

z

）≥（1+2+3）²．