Question

【題目】已知數列滿足，，

（1）求證：數列是等差數列，并求其通項公式；

（2）設，求數列{|bn|}的前n項和Tn．

Answer 1

【答案】(1)見解析；(2) Tn＝

【解析】

（1）n（an+1﹣n﹣1）＝（n+1）（an+n）（n∈N*），可得nan+1﹣（n+1）an＝2n（n+1），變形2．利用等差數列的定義及其通項公式即可證明．

（2）bn15＝2n﹣15，可得數列{bn}的前n項和Sn＝n2﹣14n．令bn≤0，解得n≤7．得到n≤7時，數列{|bn|}的前n項和Tn＝﹣b1﹣b2﹣…﹣bn＝﹣Sn．n≥8時，數列{|bn|}的前n項和Tn＝﹣b1﹣b2﹣…﹣b7+b8+…+bn＝﹣2S7+Sn．

（1）∵n（an+1﹣n﹣1）＝（n+1）（an+n）（n∈N*），

∴nan+1﹣（n+1）an＝2n（n+1），∴2．

∴數列是等差數列，公差為2，首項為2．

∴2+2（n﹣1）＝2n，

∴an＝2n2．

（2）解：bn15＝2n﹣15，

則數列{bn}的前n項和Snn2﹣14n．

令bn＝2n﹣15≤0，解得n≤7．

∴n≤7時，數列{|bn|}的前n項和Tn＝﹣b1﹣b2﹣…﹣bn＝﹣Sn＝﹣n2+14n．

n≥8時，數列{|bn|}的前n項和Tn＝﹣b1﹣b2﹣…﹣b7+b8+…+bn＝﹣2S7+Sn＝﹣2×（72﹣14×7）+n2﹣14n＝n2﹣14n+98．

∴Tn．