Question

已知橢圓：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)．
（Ⅰ）若橢圓的一個焦點到長軸的兩個端點的距離分別為2+

3

和2-

3

，求橢圓的方程；
（Ⅱ）如圖，過坐標原點O任作兩條互相垂直的直線與橢圓分別交于P、Q和R、S四點．設原點O到四邊形PRQS某一邊的距離為d，試求：當d=1時

1

a2

+

1

b2

的值．

Answer 1

（Ⅰ）∵橢圓的一個焦點到長軸的兩個端點的距離分別為2+

3

和2-

3

，
∴2a=4，a=2，2c=2

3

，c=

3

，
∴橢圓的方程：

x2

4

+y2=1
（Ⅱ）由橢圓的對稱性知：PRQS為菱形，原點O到各邊距離相等
（1）當P在y軸上時，易知R在x軸上，此時PR方程為

x

a

+

y

b

=1，d=1⇒

1

a2

+

1

b2

=1．
（2）當P在x軸上時，易知R在y軸上，此時PR方程為

x

a

+

y

b

=1，d=1⇒

1

a2

+

1

b2

=1．
（3）當P不在坐標軸上時，設PQ斜率為k，P（x₁，kx₁）、R(x2，-

1

k

x2)
P在橢圓上，

1

x 21

=

1

a2

+

k2

b2

①；
R在橢圓上，

1

x 21

=

1

a2

+

1

k2b2

②
利用Rt△POR可得　d|PR|=|OP|•|OR|
即　(x1-x2)2+(kx1+

x2

k

)2=(

x

21

+k2

x

21

)(

x

22

+

x 22

k2

)
整理得　

k2

x 22

+

1

x 21

=1+k2．再將①②代入，得

1

a2

+

1

b2

=1
綜上當d=1時，有

1

a2

+

1

b2

=1．