Question

【題目】已知函數（為自然對數的底數）．

（1）求的單調區間；

（2）是否存在正實數使得，若存在求出，否則說明理由；

（3）若存在不等實數，，使得，證明：．

Answer 1

【答案】（1）單調遞減區間是，單調遞增區間為．（2）不存在（3）詳見解析

【解析】

試題分析：（1）先求導數，再求導函數符號確定單調區間：單調遞減區間是，單調遞增區間為．（2）構造函數，，確定其是否有零點即可，先求導，確定為上的增函數，因此，無零點（3）為研究方便不妨設，，則需證明，構造函數，可證在上單調增，即，因此，而在上遞減，即

試題解析：解：（1）函數的單調遞減區間是，單調遞增區間為．

（2）不存在正實數使得成立，

事實上，由（1）知函數在上遞增，

而當，有，在上遞減，有，

因此，若存在正實數使得，必有．

令，

令，因為，所以，所以為上的增函數，所以，即，

故不存在正實數使得成立．

（3）若存在不等實數，，使得，則和中，必有一個在，另一個在，不妨設，．

①若，則，由（1）知：函數在上單調遞減，所以；

②若，由（2）知：當，則有，

而，所以，即，

而，，由（1）知：函數在上單調遞減，

∴，即有，

由（1）知：函數在上單調遞減，所以；

綜合①，②得：若存在不等實數，，使得，則總有．