Question

設直線系,則下列命題中是真命題的個數是
①存在一個圓與所有直線相交 
②存在一個圓與所有直線不相交               ③存在一個圓與所有直線相切
④中所有直線均經過一個定點              ⑤存在定點不在中的任一條直線上
⑥對于任意整數，存在正邊形,其所有邊均在中的直線上
⑦中的直線所能圍成的正三角形面積都相等

A．3

B．4

C．5

D．6

Answer 1

C

根據已知可知直線系M都為以（0，2）為圓心，以1為半徑的圓的切線，取半徑為2即可得到所以①對；存在圓心為（0，2），半徑為1/2 的圓與直線都不相交，所以②對；③顯然對；④錯；⑤錯，存在可取一點（0，2）即可驗證；⑥，⑦可去三角形的外接正三角形所有邊均在M中的直線上且面積相等，所以⑥⑦都正確．
解：根據直線系M：xcosθ+（y-2）sinθ=1（0≤θ≤2π）得到所有直線都為圓心為（0，2），半徑為1的圓的切線；
可取圓心為（0，2），半徑分別為2，1/2，1得到①②③正確；所有的直線與一個圓相切，沒有過定點，④錯；存在（0，2）不在M中的任一條直線上，所以⑤錯；存在等邊三角形的三邊都在M中的直線上，⑥⑦對，可取圓的外接正三角形其所有邊均在M中的直線上且面積相等；可知①②③⑥⑦正確，④⑤錯，所以真命題的個數為5個
故選C