Question

已知數列a_n滿足a₁+a₂+…+a_n=n²（n∈N^*）．
（1）求數列a_n的通項公式；
（2）對任意給定的k∈N^*，是否存在p，r∈N^*（k＜p＜r）使

1

ak

，  

1

ap

，  

1

ar

成等差數列？若存在，用k分別表示p和r（只要寫出一組）；若不存在，請說明理由；
（3）證明：存在無窮多個三邊成等比數列且互不相似的三角形，其邊長為a_n1，a_n2，a_n3．

Answer 1

分析：（1）當n=1時，a₁=1；當n≥2，n∈N^*時，a₁+a₂++a_n-1=（n-1）²，由此能求出數列a_n的通項公式．
（2）當k=1時，若存在p，r使

1

ak

，  

1

ap

，  

1

ar

成等差數列，則

1

ar

=

2

ap

-

1

ak

=

3-2p

2p-1

，再由題設條件分類討論知當k=1時，不存在p，r；當k≥2時，存在p=2k-1，r=4k²-5k+2滿足題設．
（3）作如下構造：an1=(2k+3)2，  an2=(2k+3)(2k+5)，   an3=(2k+5)2，其中k∈N^*，它們依次為數列a_n中的第2k²+6k+5項，第2k²+8k+8項，第2k²+10k+13項，顯然它們成等比數列，且an1＜an2＜an3，所以它們能組成三角形．由k∈N^*的任意性，這樣的三角形有無窮多個．再用反證法證明其中任意兩個三角形A₁B₁C₁和A₂B₂C₂不相似．

解答：解：（1）當n=1時，a₁=1；
當n≥2，n∈N^*時，a₁+a₂++a_n-1=（n-1）²，
所以a_n=n²-（n-1）²=2n-1；
綜上所述，a_n=2n-1（n∈N^*）．（3分）
（2）當k=1時，若存在p，r使

1

ak

，  

1

ap

，  

1

ar

成等差數列，則

1

ar

=

2

ap

-

1

ak

=

3-2p

2p-1

，
因為p≥2，所以a_r＜0，與數列a_n為正數相矛盾，因此，當k=1時不存在；（5分）
當k≥2時，設a_k=x，a_p=y，a_r=z，則

1

x

+

1

z

=

2

y

，所以z=

xy

2x-y

，（7分）
令y=2x-1，得z=xy=x（2x-1），此時a_k=x=2k-1，a_p=y=2x-1=2（2k-1）-1，
所以p=2k-1，a_r=z=（2k-1）（4k-3）=2（4k²-5k+2）-1，所以r=4k²-5k+2；
綜上所述，當k=1時，不存在p，r；
當k≥2時，存在p=2k-1，r=4k²-5k+2滿足題設．（10分）
（3）作如下構造：an1=(2k+3)2，  an2=(2k+3)(2k+5)，   an3=(2k+5)2，其中k∈N^*，
它們依次為數列a_n中的第2k²+6k+5項，第2k²+8k+8項，第2k²+10k+13項，（12分）
顯然它們成等比數列，且an1＜an2＜an3，an1+an2＞an3，所以它們能組成三角形．
由k∈N^*的任意性，這樣的三角形有無窮多個．（14分）
下面用反證法證明其中任意兩個三角形A₁B₁C₁和A₂B₂C₂不相似：
若三角形A₁B₁C₁和A₂B₂C₂相似，且k₁≠k₂，則

(2k1+3)(2k1+5)

(2k1+3)2

=

(2k2+3)(2k2+5)

(2k2+3)2

，
整理得

2k1+5

2k1+3

=

2k2+5

2k2+3

，所以k₁=k₂，這與條件k₁≠k₂相矛盾，
因此，任意兩個三角形不相似．
故命題成立．（16分）

點評：本題考查數列的性質和應用，解題時要注意合理地構造函數進行求解．