Question

已知數(shù)列a_n滿足a₁=2，

an+1 2an

=1+

1

n

；
（Ⅰ）求數(shù)列a_n的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若數(shù)列{

an

n

}的前n項(xiàng)和為S_n，試比較a_n-S_n與2的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由

an+1 2an

=1+

1

n

，得

an+1

n+1

=

2

an+1

n

，故

an

n

=(

2

)n由此能求出a_n．
（Ⅱ）由S_n=1×2¹+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ，知2S_n=1×2²+2×2³+…+（n-1）×2ⁿ+n×2ⁿ⁺¹，所以S_n=（n-1）×2ⁿ⁺¹+2，由此能夠推導(dǎo)出a_n-S_n＞2．

解答：解：（Ⅰ）由

an+1 2an

=1+

1

n

，得

a   n+1

n+1

=

2

•

an

n

，
∴數(shù)列{

an

n

}是以

2

為首項(xiàng)，

2

為公比的等比數(shù)列．
∴

an

n

=(

2

)n得a_n=n²•2ⁿ（n∈N⁺）（5分）
（Ⅱ）由條件知：
S_n=1×2¹+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ，①
∴2S_n=1×2²+2×2³+…+（n-1）×2ⁿ+n×2ⁿ⁺¹，②
①-②得-S_n=2+2²+…+2ⁿ-n×2ⁿ⁺¹=

2(1-2n)

1-2

-n×2n+1
整理得：S_n=（n-1）×2ⁿ⁺¹+2，（9分）
∴a_n-S_n-2=n²×2ⁿ-（n-1）×2ⁿ⁺¹-4=[（n-1）²+1]×2ⁿ-4，
∵n∈N⁺，∴n=1時(shí)，a_n-S_n-2＜0，∴a_n-S_n＜2
n≥2時(shí)，a_n-S_n＞2，∴a_n-S_n＞2．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列通項(xiàng)公式的求法和數(shù)列前n項(xiàng)和的求法，利用數(shù)列的性質(zhì)比較比較a_n-S_n與2的大小，解題時(shí)要注意數(shù)列性質(zhì)的合理運(yùn)用．