Question

【題目】已知函數f（x）=sinωx+cosωx（ω＞0），x∈R，若函數f（x）在區間（﹣ω，ω）內單調遞增，且函數y=f（x）的圖象關于直線x=ω對稱，則ω的值為 ．

Answer 1

【答案】
【解析】解：∵f（x）=sinωx+cosωx= sin（ωx+ ）， ∵函數f（x）在區間（﹣ω，ω）內單調遞增，ω＞0
∴2kπ﹣ ≤ωx+ ≤2kπ+ ，k∈Z可解得函數f（x）的單調遞增區間為：[ ， ]，k∈Z，
∴可得：﹣ω≥ ①，ω≤ ②，k∈Z，
∴解得：0＜ω2≤ 且0＜ω2≤2k ，k∈Z，
解得：﹣ ，k∈Z，
∴可解得：k=0，
又∵由ωx+ =kπ+ ，可解得函數f（x）的對稱軸為：x= ，k∈Z，
∴由函數y=f（x）的圖象關于直線x=ω對稱，可得：ω2= ，可解得：ω= ．
故答案為： ．
由兩角和的正弦函數公式化簡解析式可得f（x）= sin（ωx+ ），由2kπ﹣ ≤ωx+ ≤2kπ+ ，k∈Z可解得函數f（x）的單調遞增區間，結合已知可得：﹣ω≥ ①，ω≤ ②，k∈Z，從而解得k=0，又由ωx+ =kπ+ ，可解得函數f（x）的對稱軸為：x= ，k∈Z，結合已知可得：ω2= ，從而可求ω的值．