Question

【題目】已知函數，(e是自然對數的底數)，對任意的R，存在，有，則的取值范圍為____________.

Answer 1

【答案】

【解析】

問題轉化為f（x）max≤g（x）max，分別求出f（x）和g（x）的最大值，得到關于a的不等式，解出即可．

對任意的x1∈R，存在x2∈[，2]，有f（x1）≤g（x2），

故f（x）max≤g（x）max，

f′（x）=，（x＞0），

令f′（x）＞0，解得：0＜x＜e，

令f′（x）＜0，解得：x＞e，

故f（x）在（0，e）遞增，在（e，+∞）遞減，

故f（x）max=f（e）=，

g′（x）=﹣2ex+a，

①a≤0時，g′（x）≤0，g（x）在[，2]遞減，

g（x）max=g（）=﹣e+a≥，

解得：a≥+（舍），

②a＞0時，令g′（x）=0，解得：x=，

（i）≤即a≤時，g（x）在[，2]遞減，

結合①，不合題意，舍，

（ii）＜＜2即＜a＜4e時，

g（x）在[，）遞增，在（，2]遞減，

故g（x）max=g（span>）=≥，

解得：a≥2；

（iii）≥2即a≥4e時，

g（x）在[，2]遞增，

g（x）max=g（2）=﹣4e+2a≥，

解得：a≥2e+，

綜上，a≥2，

故答案為：[2，+∞）．