Question

【題目】已知向量 =（ sinωx，1）， =（cosωx，cos2ωx+1），設函數f（x）= ．
（1）若函數f（x）的圖象關于直線x= 對稱，且ω∈[0，3]時，求函數f（x）的單調增區間；
（2）在（1）的條件下，當 時，函數f（x）有且只有一個零點，求實數b的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：向量 ，

函數

∵函數f（x）圖象關于直線 對稱，

∴ （k∈Z），

解得： （k∈Z），

所以函數f（x）的單調增區間為 （k∈Z）

（2）解：由（1）知（2）由（1）知 ，

∵

∴ 函數f（x）單調遞增；．

2x+ ∈[ ， ]，即x∈ 函數f（x）單調遞減

又 ，∴當 }時函數f（x）有且只有一個零點，

∴ { }

【解析】根據平面向量數量積的坐標表示達式將f（x）用、的坐標表示，利用二倍角正余弦公式、輔助角公式將f（x）化簡成y=Asin（）+B的形式，令+=（kZ）可解出；令-+2k+2k（kZ），解出x即可得到f（x）的單調增區間；（2）討論函數f（x）在[0，]內的單調性，求出f（x）的最值，然后數形結合，分類討論..
【考點精析】根據題目的已知條件，利用正弦函數的單調性和正弦函數的對稱性的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握正弦函數的單調性：在上是增函數；在上是減函數；正弦函數的對稱性：對稱中心；對稱軸．