Question

已知函數f（x）=log_a^x（a＞0，a≠1）
（1）若f（x₁x₂…x₂₀₀₉）=10，求f（x₁²）+f（x₂²）+…f（x₂₀₀₉²）的值；
（2）當x∈（-1，0）時，g（x）=f（x+1）＞0，求a的取值范圍；
（3）若g（x）=f（x+1），當動點P（x，y）在y=g（x）的圖象上運動時，點M（

x

3

，

y

2

）在函數y=H（x）的圖象上運動，求y=H（x）的解析式．

Answer 1

分析：（1）利用對數運算性質和冪運算性質，將所求代數式化簡為2f（x₁x₂…x₂₀₀₉）即可；
（2）先計算內層函數的值域，再利用對數函數的圖象性質即可得a的取值范圍；
（3）先將點M的坐標設為M（u，v），從而用M的坐標表示P點坐標，最后代入P的方程即可得M的軌跡方程，即H（x）的解析式

解答：解：（1）∵f（x₁x₂…x₂₀₀₉）=log_a（x₁x₂…x₂₀₀₉）=10，
∴f（x₁²）+f（x₂²）+…f（x₂₀₀₉²）=log_a（x₁²）+log_a（x₂²）+…+log_a（x₂₀₀₉²）
=log_a（x₁x₂…x₂₀₀₉）²
=2log_a（x₁x₂…x₂₀₀₉）
=20
（2）g（x）=f（x+1）=log_a（x+1）
∵x∈（-1，0），∴x+1∈（0，1）
∵log_a（x+1）＞0
∴0＜a＜1，即a的范圍為（0，1）
（3）g（x）=f（x+1）=log_a（x+1）
設M（u，v），則

u= x 3 v= y 2

，∴

x=3u y=2v

∵代入y=log_a（x+1）得：2v=log_a（3u+1）
∴v=

1

2

log_a（3u+1）
∴y=H（x）的解析式為H（x）=

1

2

log_a（3x+1）

點評：本題考查了對數運算性質和冪運算性質，對數函數的圖象和性質，代入法求動點軌跡方程