Question

【題目】已知橢圓：的左焦點(diǎn)為，點(diǎn)在橢圓上.

（1）求橢圓的方程；

（2）圓是以橢圓的焦距為直徑的圓，點(diǎn)是橢圓的右頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線與圓相交于，兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓相交于另一點(diǎn)，若，求面積的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）由焦點(diǎn)和過(guò)點(diǎn)，得到方程組，解得.

（2）由過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，知直線的斜率存在，設(shè)的方程為，由題意可知，聯(lián)立橢圓方程，設(shè)，則，由直線與垂直，可設(shè)的方程為，即，圓心到的距離，表示出，再由利用基本不等式即可求出三角形面積的取值范圍.

解：（1），所以，將代入橢圓方程得，所以，整理得，所以或（舍去），所以，所以橢圓的方程為.

（2）由過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，知直線的斜率存在，

設(shè)的方程為，由題意可知，聯(lián)立橢圓方程，得，

設(shè)，則，得，所以；

由直線與垂直，可設(shè)的方程為，即，圓心到的距離，又圓的半徑，所以，，由即，得，，

設(shè)，則，，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，取“”，所以的面積的取值范圍是.