Question

（本小題滿分12分）已知橢圓C的中心為坐標原點O，焦點在y軸上，離心率，橢圓上的點到焦點的最短距離為, 直線l與y軸交于點P（0，m），與橢圓C交于相異兩點A、B，且.
（1）求橢圓方程；
（2）求的取值范圍．

Answer 1

解：（1）設C：＋＝1（a>b>0），設c>0，c²＝a²－b²，由條件知a-c＝，＝，………1分
∴a＝1，b＝c＝    ………………………………………3分
故C的方程為：y²＋＝1            ……………………………4分
（2）當直線斜率不存在時：     ……………………………………5分
當直線斜率存在時：設l與橢圓C交點為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
得（k²＋2）x²＋2kmx＋（m²－1）＝0    …………………6分
Δ＝（2km）²－4（k²＋2）（m²－1）＝4（k²－2m²＋2）>0 （*）………………7分
x₁＋x₂＝， x₁x₂＝　       …………………………………8分
∵＝3 ∴－x₁＝3x₂∴
消去x₂，得3（x₁＋x₂）²＋4x₁x₂＝0，∴3（）²＋4＝0……………………9分
整理得4k²m²＋2m²－k²－2＝0　                      
m²＝時，上式不成立；m²≠時，k²＝，      …………………10分
∴k²＝0，∴或
高三數學（理工類）參考答案第3頁（共4頁）
把k²＝代入（*）得或
∴或         ……………………………………11分
綜上m的取值范圍為或 ……………………………12分

略