Question

【題目】已知橢圓的離心率為，且四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形的面積是．

（1）求橢圓的方程；

（2）已知直線經(jīng)過點(diǎn)，且不垂直于軸，直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，為的中點(diǎn)，直線與橢圓交于，兩點(diǎn)（是坐標(biāo)原點(diǎn)），求四邊形的面積的最小值．

Answer 1

【答案】（1）（2）8

【解析】

（1）由離心率可知，由四邊形的面積可知，再結(jié)合橢圓中，從而可求，，進(jìn)而可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

（2）設(shè)直線的方程為，，，將直線與橢圓聯(lián)立，由韋達(dá)定理可得，從而可求出直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，可求出，設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，則可知

，通過整理可求出，即可得，由，即可求出面積的最小值.

解：（1）由題意可得，解得，，

故橢圓的方程為．

（2）由不垂直于 軸，設(shè)直線的方程為，，．

聯(lián)立，整理得，則，，

從而，故．

則直線的斜率為，所以直線的方程為，即．

聯(lián)立，整理得，則．

設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，則點(diǎn)到直線的距離也為，

從而．

因?yàn)辄c(diǎn)，在直線的兩側(cè)，所以，

所以，則．

因?yàn)?/span>，所以，

則四邊形的面積．

因?yàn)?/span>（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立），

所以，即四邊形的面積的最小值是8．