Question

（12分）過拋物線y2=2px(p＞0)的焦點F的直線與拋物線相交于M、N兩點，自M、N向準線l作垂線，垂足分別為M1、N1.
（1）求證：FM1⊥FN1；
（2）記△FMM1、△FM1N1、△FNN1的面積分別為、、，試判斷S=4是否成立，并證明你的結論.

Answer 1

（1）略
（2）略

（1）證法一：由拋物線的定義得|MF|=|MM1|，|NF|=|NN1|.
∴∠MFM1=∠MM1F，∠NFN1=∠NN1F.
如圖，設準線l與x軸的交點為F1.
∵MM1∥NN1∥FF1，
∴∠F1FM1=∠MM1F，∠F1FN1=∠NN1F.
而∠F1FM1+∠MFM1+∠F1FN1+∠NFN1=180o，
即2∠F1FM1+2∠F1FN1=180o，
∴∠F1FM1+∠F1FN1=90o，
即∠M1FN1=90o，故FM1⊥FN1.
證法二：依題意，焦點為F(,0)，準線l的方程為x=－.
設點M，N的坐標分別為M(x1,y1)，N(x2,y2)，直線MN的方程為x=my+,則有M1(－,y1)，N1(－,y2)，=(－p,y1), =(－p,y2).
由
于是，y1+y2=2mp，y1y2=－p2.
∴·=p2+y1y2=p2－p2=0，故FM1⊥FN1.
（2）S=4S1S3成立，證明如下：
證法一：設M(x1,y1)，N(x2,y2)，
直線l與x軸的交點為F1，則由拋物線的定義得
|MM1|=|MF|=x1+, |NN1|=|NF|=x2+. 于是
S1=·|MM1|·|F1M1|=(x1+)|y1|，
S2=·|M1N1|·|FF1|=p|y1－y2|，
S3=·|NN1|·|F1N1|=(x2+)|y2|，
∵S=4S1S3(p|y1－y2|)2
=4×(x1+)|y1|·(x2+)·|y2|p2[(y1+y2)2－4y1y2]=[x1x2+(x1+x2)+]·|y1y2|.
將與代入上式化簡可得
p2(m2p2+p2)=p2(m2p2+p2)，此式恒成立. 故S=4S1S3成立.