Question

已知拋物線C:, 過拋物線C上點M且與M處的切線垂直的直線稱為拋物線C在點M的法線。
⑴若拋物線C在點M的法線的斜率為 ，求點M的坐標；
⑵設(shè)P為C對稱軸上的一點，在C上是否存在點，使得C在該點的法線通過點P。若有，求出這些點，以及C在這些點的法線方程；若沒有，請說明理由。

Answer 1

（1）（，）
（2）略

解：
⑴函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，點處切線的斜率k0=
.∵過點的法線斜率為，∴（）=，解得，。
故點M的坐標為（，）。
⑵設(shè)M為C上一點，
若，則C上點M處的切線斜率k=0,
過點M的法線方程為，次法線過點P;
若，則過點M的法線方程為：。
若法線過點P，則，即。
若，則，從而，
代入得，。
若，與矛盾，若，則無解。
綜上，當時，在C上有三點（，），（，）及，
在該點的法線通過點P，
法線方程分別為，，。
當時，在C上有一點，在該點的法線通過點P，法線方程為。