Question

（附加題）已知函數f（x）=x²-2kx+k+1．
（Ⅰ）若函數在區間[1，2]上有最小值-5，求k的值．
（Ⅱ）若同時滿足下列條件①函數f（x）在區間D上單調；②存在區間[a，b]⊆D使得f（x）在[a，b]上的值域也為[a，b]；則稱f（x）為區間D上的閉函數，試判斷函數f（x）=x²-2kx+k+1是否為區間[k，+∞）上的閉函數？若是求出實數k的取值范圍，不是說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ） f（x）=x²-2kx+k+1=（x-k）²-k²+k+1，對稱軸x=k．分k＜1、1≤k≤2、k＞2三種情況，分別求出k的值，即得所求．
（Ⅱ）f（x）=x²-2kx+k+1在[k，+∞）上單調遞增，由于f（x）在[a，b]上的值域也為[a，b]，則有

a2-2ka+k+1=a b2-2kb+k+1=b

，即方程x²-2kx+k+1=x在[k，+∞）有兩不同實數根，
解不等式組

(2k+1)2-4(k+1)＞0 2k+1 2 ＞k k2-k(2k+1)+k+1＞0

，求得實數k的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ） f（x）=x²-2kx+k+1=（x-k）²-k²+k+1，對稱軸x=k．
①當k＜1時，f_min（x）=f（1）=1-2k+k+1=-5，解得k=7，（舍去）
②當1≤k≤2時，fmin(x)=f(k)=-k2+k+1=-5，解得k=-2或3，（舍去）
③當k＞2時，f_min（x）=f（2）=4-4k+k+1=-5，解得k=

10

3

．
綜合①②③可得k=

10

3

．-------（4分）
（Ⅱ）當k∈(-1，-

3

2

)∪(

3

2

，1)時，函數f（x）=x²-2kx+k+1在[k，+∞）上是閉函數．--------（6分）
∵函數開口向上且對稱軸為x=k，∴f（x）=x²-2kx+k+1在[k，+∞）上單調遞增．
設存在區間[a，b]⊆[k，+∞）使得f（x）在[a，b]上的值域也為[a，b]，
則有

a2-2ka+k+1=a b2-2kb+k+1=b

，即方程x²-2kx+k+1=x在[k，+∞）有兩不同實數根．---------（8分）
∴

(2k+1)2-4(k+1)＞0 2k+1 2 ＞k k2-k(2k+1)+k+1＞0

，解得-1＜k＜-

3

2

或

3

2

＜k＜1，
∴k的取值范圍為(-1，-

3

2

)∪(

3

2

，1)-----（10分）

點評：本題主要考查二次函數的性質，二次函數在閉區間上的最值，體現了分類討論的數學思想、等價轉化的數學思想，屬于中檔題．