Question

（附加題）已知函數f（x）=x²+px+q，對于任意θ∈R，有f（sinθ）≤0，且f（sinθ+2）≥0．
（1）求p、q之間的關系式；
（2）求p的取值范圍；
（3）如果f（sinθ+2）的最大值是14，求p的值，并求此時f（sinθ）的最小值．

Answer 1

分析：（1）根據所給的函數的自變量的表示式和三角函數的值域看出自變量的取值范圍，得到二次函數的實根的分布情況，根據根與系數的關系得到兩個根之積和兩個根之和，得到要求的量之間的關系．
（2）根據所給的二次函數對應的函數值和二次函數的性質，得到二次函數的對稱軸的范圍，根據對稱軸的范圍得到p的取值范圍．
（3）根據二次函數的圖象可以得到當1≤x≤3時，f（x）為增函數，所得到x=3時，f（x）取得最大值，根據所給的最大值，求出p，q的值，做出二次函數的最小值．

解答：解：（1）當θ∈R時，-1≤sinθ≤1，1≤sinθ+2≤3，
由已知f（sinθ）≤0，且f（sinθ+2）≥0可知，
對于函數f（x），當-1≤x≤1時，f（x）≤0；當1≤x≤3時，f（x）≥0；
且f（x）的一個根為1，令f（x）另外一根為a，則兩根之和1+a=-p，
所以另一根為a=-P-1，
兩根之積為1×a=-p-1=q，
所以p，q關系為-p-1=q，即1+p+q=0  　     （3分）
（2）由題意知任意θ∈R，有f（sinθ）≤0，且f（sinθ+2）≥0，
可知 f（1）=0 
又因為要滿足f（sinθ）≤0，
所以 f（-1）≤0，
故有對稱軸x=-

p

2

≤0
解得P≥0．                              （6分）
（3）根據f（x）的函數的圖象可知，
當1≤x≤3時，f（x）為增函數，所以x=3時，f（x）取得最大值
∴f（3）=9+3p+q=14，
∴9+3p-p-1=14，則p=3，q=-4，
得到f（x）=x²+3x-4，
可知，當-1≤x≤1時，f（x）為增函數，
當sinθ=-1時，f（sinθ）取得最小值為-6．

點評：本題考查函數的恒成立問題，考查二次函數的圖象和性質，以及在閉區間上求函數的最值，本題解題的關鍵是對于所給的函數對應的不等式進行整理變形，看出實際上是一個實根分布問題，本題是一個中檔題目．