Question

在平面直角坐標系中，已知A₁(一3，0)、A₂(3，0)、P(、y)、M(，0)，O為坐標原點，若實數使向量、和滿足=?．

(1)求點P的軌跡方程，并判斷P點的軌跡是怎樣的曲線；

(2)當時，過點A₁且斜率為1的直線與此時(1)中的曲線相交的另一個交點為B，能否在直線=－9上找到一點C，恰使△A₁BC為正三角形?請說明理由．

Answer 1

解：(1)由已知可得

    ，且≥9

∴

即，

    ∴點P的軌跡方程是(1一)²+=9(1一)

當1－>0，即(一1，1)時，有=1，

此時≤l，∴²≤9，綜合²≥9知，此時點P的軌跡為兩點和

當，即，一1)(1，+∞)時，方程為，

此時點P的軌跡是雙曲線；

    當=±1時，方程為，且²≥9，此時點P的軌跡為兩條射線．

(2)過點A₁斜率為1的直線方程為，

當=時，曲線方程為，其軌跡就是兩點A₁和A₂，

此時直線過A₁點但不過A₂點，

∴B點不存在，從而這樣的三角形也不存在．