Question

【題目】如圖，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，A1A⊥底面ABCD，四邊形ABCD為梯形，AD∥BC，且AD=2BC，過A1、C、D三點的平面記為α，BB1與α的交點為Q．

（1）證明：Q為BB1的中點；
（2）求此四棱柱被平面α所分成上下兩部分的體積之比；
（3）若AA1=4，CD=2，梯形ABCD的面積為6，求平面α與底面ABCD所成二面角的大小．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，四邊形ABCD為梯形，AD∥BC，

∴平面QBC∥平面A1D1DA，

∴平面A1CD與面QBC、平面A1D1DA的交線平行，∴QC∥A1D

∴△QBC∽△A1AD，

∴ = ，

∴Q為BB1的中點；

（2）解：連接QA，QD，設AA1=h，梯形ABCD的高為d，四棱柱被平面α所分成上、下兩部分的體積為V1，V2，

設BC=a，則AD=2a，∴ = = ，VQ﹣ABCD= = ahd，

∴V2= ，

∵V棱柱= ahd，

∴V1= ahd，

∴四棱柱被平面α所分成上、下兩部分的體積之比 ；

（3）解：在△ADC中，作AE⊥DC，垂足為E，連接A1E，則DE⊥平面AEA1，∴DE⊥A1E，

∴∠AEA1為平面α與底面ABCD所成二面角的平面角，

∵BC∥AD，AD=2BC，

∴S△ADC=2S△ABC，

∵梯形ABCD的面積為6，DC=2，

∴S△ADC=4，AE=4，

∴tan∠AEA1= =1，

∴∠AEA1= ，

∴平面α與底面ABCD所成二面角的大小為 ．

【解析】（1）證明平面QBC∥平面A1D1DA，可得△QBC∽△A1AD，即可證明Q為BB1的中點；（2）設BC=a，則AD=2a，則 = = ，VQ﹣ABCD= = ahd，利用V棱柱= ahd，即可求出此四棱柱被平面α所分成上、下兩部分的體積之比；（3）△ADC中，作AE⊥DC，垂足為E，連接A1E，則DE⊥平面AEA1 ， DE⊥A1E，可得∠AEA1為平面α與底面ABCD所成二面角，求出S△ADC=4，AE=4，可得tan∠AEA1= =1，即可求平面α與底面ABCD所成二面角的大小．