Question

【題目】已知函數(shù) ．
（1）求函數(shù)f（x）的定義域；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[10，+∞）上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：若函數(shù) 的真數(shù)為正，

則（ax﹣1）（x﹣1）＞0，

當(dāng)a=1時(shí)，函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閧x|x≠1}；

當(dāng)0＜a＜1時(shí)，函數(shù)f（x）的定義域?yàn)? ；

當(dāng)a＞1時(shí)

（2）解： ，

函數(shù)f（x）在區(qū)間[10，+∞）上是增函數(shù)，

只需要 在區(qū)間[10，+∞）上是增函數(shù)，且大于零．

即當(dāng)x1＞x2≥10時(shí)， 恒成立．

∵x2﹣x1＜0，（x1﹣1）（x2﹣1）＞0，

∴k﹣1＜0即可．

在區(qū)間[10，+∞）上是增函數(shù)，

要使g（x）＞0恒成立，

只要 ，

∴

【解析】（1）若函數(shù) 的真數(shù)為正，則（ax﹣1）（x﹣1）＞0，分類討論，可得不同情況下函數(shù)f（x）的定義域；（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[10，+∞）上是增函數(shù)，只需要 在區(qū)間[10，+∞）上是增函數(shù)，且大于零恒成立，進(jìn)而得到實(shí)數(shù)a的取值范圍．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用函數(shù)的定義域及其求法和函數(shù)單調(diào)性的判斷方法的相關(guān)知識(shí)可以得到問題的答案，需要掌握求函數(shù)的定義域時(shí)，一般遵循以下原則：①是整式時(shí)，定義域是全體實(shí)數(shù);②是分式函數(shù)時(shí)，定義域是使分母不為零的一切實(shí)數(shù);③是偶次根式時(shí)，定義域是使被開方式為非負(fù)值時(shí)的實(shí)數(shù)的集合;④對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于零，當(dāng)對(duì)數(shù)或指數(shù)函數(shù)的底數(shù)中含變量時(shí)，底數(shù)須大于零且不等于1,零（負(fù)）指數(shù)冪的底數(shù)不能為零；單調(diào)性的判定法：①設(shè)x1,x2是所研究區(qū)間內(nèi)任兩個(gè)自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較．