Question

（2012•九江一模）如圖所示，已知六棱錐P-ABCDEF的底面是正六邊形，PA⊥平面ABC，AB=2，PA=2

2

，M是PA的中點．
（1）求證：平面PCD∥平面MBE；
（2）設PA=λAB，當二面角D-ME-F的大小為135°，求λ的值．

Answer 1

分析：（1）證明平面PCD∥平面MBE，利用面面平行的判定定理，證明一個平面內的兩條相交直線平行于另一平面即可；
（2）不妨設AB=2，則PA=2λ，以A為坐標原點，AE，AB，AP所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，求出平面DME的法向量，平面FME的法向量為

n

=(-λ，

3

λ，-2

3

)，利用向量夾角公式，建立方程，即可求得結論．

解答：（1）證明：連接AD交BE于點G，連接MG，則點G是正六邊形的中心，所以G是線段AD的中點
∵M是PA的中點，∴MG∥PD
∵PD?平面MBE，MG?平面MBE
∴PD∥平面MBE
∵DC∥BE，DC?平面MBE，BE?平面MBE
∴DC∥平面MBE
∵PD∩DC=D
∴平面PCD∥平面MBE；
（2）解：不妨設AB=2，則PA=2λ，在正六邊形ABCDEF中，連接AE，過點F作FH⊥AE，垂足為H，則FH=AFsin∠FAE=1，AH=AFcos∠FAE=

3

，AE=2

3

，以A為坐標原點，AE，AB，AP所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，則A（0，0，0），E（2

3

，0，0），D（2

3

，2，0），F（

3

，-1，0），M（0，0，λ）
∴

EM

=（-2

3

，0，λ），

ED

=（0，2，0），

EF

=（-

3

，-1，0）
設平面DME的法向量為

m

=(x，y，z)，
由

m • ED =0 m • EM =0

得

2y=0 -2 3 x+λz=0

，取z=2

3

，則

m

=(λ，0，2

3

)
同理可得平面FME的法向量為

n

=(-λ，

3

λ，-2

3

)
∴cos＜

m

，

n

＞=

-λ2-12

λ2+12 • 4λ2+12

∵二面角D-ME-F的大小為135°
∴

-λ2-12

λ2+12 • 4λ2+12

=-

2

2

∴λ²=6
∵λ＞0，
∴λ=

6

點評：本題考查面面平行，考查面面角，解題的關鍵是掌握面面平行的判定方法，確定平面的法向量，屬于中檔題．