Question

【題目】一平面上有32個(gè)點(diǎn)，其中無三點(diǎn)共線．證明：在這32個(gè)點(diǎn)中至少能找到2135個(gè)四點(diǎn)組，形成凸四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

設(shè)．

因?yàn)?/span>個(gè)點(diǎn)中無三點(diǎn)共線，所以，個(gè)點(diǎn)中以任意三點(diǎn)為頂點(diǎn)可作個(gè)三角形，

其中，面積最大者設(shè)為．

過點(diǎn)、、分別作對(duì)邊的平行線，相交得．

由于面積最大，故其余個(gè)點(diǎn)在內(nèi)．

又過其中任意兩點(diǎn)、的直線至多與的兩條邊相交，不妨設(shè)直線與邊不相交．則、、、是凸四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)．

因此，個(gè)點(diǎn)中任意兩點(diǎn)與點(diǎn)、、中某兩點(diǎn)可連出一個(gè)凸四邊形．

所以，至少有個(gè)四點(diǎn)組為凸四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)，其中，、為、、中兩點(diǎn)，直線與邊不相交．

再考慮點(diǎn)和上述個(gè)點(diǎn)的集合，知至少有個(gè)滿足條件的四點(diǎn)組．

繼續(xù)討論下去，知個(gè)點(diǎn)中滿足條件的四點(diǎn)組至少有

．

將代入得．