Question

已知函數（x）=,a是正常數。（1）若f(x)= （x）+lnx,且a=,求函數f(x)的單調遞增區間；（2）若g(x)=∣lnx∣+（x）,且對任意的x,x∈（0,2〕，且x≠x，都有＜-1，求a的取值范圍

Answer 1

（1）（0，）和（2，+∞）（2）≧

本小題主要考查函數單調性的應用、利用導數研究函數的單調性、導數的幾何意義、不等式的解法等基礎知識，考查運算求解能力，屬于基礎題．
（1）先對函數y=f（x）進行求導，然后令導函數大于0（或小于0）求出x的范圍，根據f′（x）＞0求得的區間是單調增區間，f′（x）＜0求得的區間是單調減區間，即可得到答案．
（2）設h（x）=g（x）+x，依題意得出h（x）在（0，2]上是減函數．下面對x分類討論：①當1≤x≤2時，②當0＜x＜1時，利用導數研究函數的單調性從及最值，即可求得求a的取值范圍．
解：⑴=-﹥1=﹥0x﹥2或0﹤x﹤，
所以函數的單調增區間為（0，）和（2，+∞）……………………………3分
⑵因為﹤-1，所以﹤0，
所以F=在區間（0,2】上是減函數。
① 當1≦x≦2時，F=ln+，
由在x∈上恒成立。
設，所以﹥0（1≦x≦2），
所以在[1,2]上為增函數，所以
②當0﹤x﹤1時，F=-ln+，
由-=在x∈（0,1）上恒成立。
令=﹥0，所以在（0,1）上為增函數，所以，綜上：的取值范圍為≧…………………12分