Question

【題目】設數列{an}共有4項，滿足a1＞a2＞a3＞a4≥0，若對任意的i，j（1≤i≤j≤4，且i，j∈N*），ai﹣aj仍是數列{an}中的某一項．現有下列命題：①數列{an}一定是等差數列；②存在1≤i＜j≤4，使得iai=jaj；③數列{an}中一定存在一項為0．其中，真命題的序號有 ． （請將你認為正確命題的序號都寫上）

Answer 1

【答案】①②③
【解析】解：根據題意：對任意i，j（1≤i≤j≤4），有ai﹣aj仍是該數列的某一項，

令i=j，則0為數列的某一項，

即a4=0，

則a3﹣a4=a3∈{an}，（a3＞0）．

必有a2﹣a3=a3，即a2=2a3，

而a1﹣a2=a2或a3，

若a1﹣a2=a2，則a1﹣a3=3a3，而3a3≠a2，a3，a4，舍去；

若a1﹣a2=a3∈{an}，此時a1=3a3，

可得數列{an}為：3a3，2a3，a3，0（a4＞0）；

據此分析選項：易得①②③正確；

所以答案是：①②③

【考點精析】根據題目的已知條件，利用數列的通項公式的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式．