Question

【題目】已知五面體中，四邊形為矩形，，，且二面角的大小為.

（1）證明：平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】

（1）先證平面，由線面平行的性質(zhì)定理得，所以由線面垂直的判定定理得平面，從而得A平面；

（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在的直線為軸，過(guò)平行于的直線為軸，所在的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

（1）在五面體中，四邊形為矩形，所以，.

因?yàn)?/span>平面，平面，所以平面，

因?yàn)?/span>平面，平面平面，所以，又，故.因?yàn)?/span>，，，所以，

因?yàn)?/span>，所以平面，又，所以平面.

（2）過(guò)點(diǎn)作，垂足為，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在的直線為軸，過(guò)平行于的直線為軸，所在的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，分別求平面，平面的法向量，利用向量法求解即可.

則，，，，

，，，

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則即

，

不妨令，則.

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則即

不妨令，則，則.

由圖知二面角為銳角，所以二面角的余弦值為.