Question

（2009•西城區一模）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠BCD=90°，AB∥CD，又AB=BC=PC=1， PB=

2

， CD=2， AB⊥PC．
（Ⅰ）求證：PC⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求二面角B-PD-C的大小；
（Ⅲ）求點B到平面PAD的距離．

Answer 1

分析：（1）要證PC⊥平面ABCD可利用線面垂直的判定定理即證明PC與面ABCD內的兩條相交直線垂直即可而根據題中的條件分析可知AB，BC即為要找的兩條相交直線．
（Ⅱ）法一：幾何法．可先利用題中條件作出過其中一平面內的一點垂直于另一平面的垂線然后再根據三垂線定理即可作出二面角的平面角然后把這個角放在三角形內求解即可．而根據題中的條件再結合（1）的結論可得BC⊥平面PCD故過C作CM⊥PD于M連接BM而CM是BM在平面PCD內的射影根據三垂線定理可得BM⊥PD所以∠CMB為二面角B-PD-C的平面角然后在直角三角形BCM中求出∠CMB．
    法二：空間向量法．根據題中條件可得CD，CB，CA兩兩垂直故可建立如圖所示的空間直角坐標系過C作CM⊥DP于M，連接BM利用

MC

⊥

DP

，

DM

，

DP

共線可求出M點的坐標為(

2

5

， 0， 

4

5

)從而可計算出

MB

•

DP

=

4

5

+0-

4

5

=0即MB⊥DP故∠CMB為二面角B-PD-C的平面角然后利用向量的夾角公式即可求出∠CMB的余弦值．
（Ⅲ）設點B到平面PAD的距離為h利用三棱錐B-PAD與三棱錐P-ABD的體積相等即可求出h．

解答：解：（Ⅰ）證明：∵在△PBC中，BC=PC=1， PB=

2

∴BC²+PC²=PB²
∴∠PCB=90°，即PC⊥BC
∵AB⊥PC
∵AB∩BC=B
∴PC⊥平面ABCD．
（Ⅱ）方法一：由（Ⅰ）知PC⊥BC
又∵BC⊥CD，PC∩CD=C
∴BC⊥平面PCD
過C作CM⊥PD于M，連接BM
∴CM是BM在平面PCD內的射影
∴BM⊥PD，
又∵CM⊥PD
∴∠CMB為二面角B-PD-C的平面角．
在△PCD中，∠PCD=90°，PC=1，CD=2，∴PD=

PC2+CD2

=

5

又∵CM⊥PD∴PD•CM=PC•CD，∴CM=

PC•CD

PD

=

2 5

5

．
在△CMB中，∠BCM=90°，BC=1，CM=

2 5

5

∴tan∠CMB=

BC

CM

=

5

2

∴二面角B-PD-C的大小為arctan

5

2

．
方法二：如圖，在平面ABCD內，以C為原點，CD、CB、CP分別為x、y、z軸，建立空間直角坐標系C-xyz，
則C（0，0，0），B（0，1，0），D（2，0，0），P（0，0，1），A（1，1，0）
過C作CM⊥DP于M，連接BM，設M（x，y，z）
則

MC

=(-x，-y，-z)， 

DM

=(x-2，y，z)， 

DP

=(-2，0，1)
∵

MC

⊥

DP

∴

MC

•

DP

=2x-z=0      
∵

DM

，

DP

共線
∴y=0， 

x-2

-2

=z
由\o\ac(○，1)\o\ac(○，2)，解得x=

2

5

， y=0， z=

4

5

∴M點的坐標為(

2

5

， 0， 

4

5

)，

MB

=(-

2

5

， 1， -

4

5

)，

MC

=(-

2

5

， 0， -

4

5

)
∵

MB

•

DP

=

4

5

+0-

4

5

=0
∴MB⊥DP
又∵CM⊥DP
∴∠CMB為二面角B-PD-C的平面角
∵

MC

=(-

2

5

， 0， -

4

5

)，

MB

=(-

2

5

， 1， -

4

5

)，∴cos∠CMB=

MB • MC

| MB |•| MC |

=

2

3

∴二面角B-PD-C的大小為arccos

2

3

．
（Ⅲ）設點B到平面PAD的距離為h
∵AB⊥BC
∴AC=

AB2+BC2

=

2

∵PC⊥平面ABCD
∴PC⊥AC
∴PA=

AC2+PC2

=

3

在直角梯形ABCD中，AB=1，BC=1，CD=2
∴AD=

BC2+(CD-AB)2

=

2

在△PAD中，∵AD=

2

，PA=

3

， PD=

5

∴AD²+PA²=PD²
∴∠PAD=90°
∴△PAD的面積S△PAD=

1

2

AD•PA=

6

2

∵三棱錐B-PAD的體積V_B-PAD=V_P-ABD
∴

1

3

•S△PAD•h=

1

3

•S△ABD•PC，
即

6

2

×h=(

1

2

×1×1)×1，解得h=

6

6

∴點B到平面PAD的距離為

6

6

．

點評：本題主要考察了線面垂直的證明，二面角的求解，點到面的距離的計算．解題的關鍵是第一問要根據題中數據得出PC⊥BC而第二問可采用幾何法（關鍵是找到垂線然后利用三垂線定理即可做出二面角的平面角）也可采用空間向量的方法證明∠CMB為二面角B-PD-C的平面角，對于第三問中點到面的距離的求解常采用輪換三棱錐的頂點但體積不變即“等積法”求解！