Question

【題目】如圖，在三棱錐 中， 底面 分別是 的中點， 在 ，且 .

（1）求證： 平面 ；
（2）在線段 上是否存在點 ，使二面角 的大小為 ？若存在，求出 的長；
若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】
（1）證明：由 ，
是 的中點，得 ，
因為 底面 ，所以 ，
在 中， ，所以 ，
因此 ，又因為 ，
所以 ，
則 ，即 ，因為 底面 ，
所以 ，又 ,
又 ，所以 平面 .
（2）解：假設滿足條件的點 ，存在，
并設 ，以 為坐標原點，分別以 為 軸建立空間之間坐標系 ，
則 ，
由 ，所以 ，所以 ，
設平面 的法向量為 ，
則 ，取 ，得 ，
即 ，設平面 的法向量為 ，
則 ，取 ，得 ，
即 ，
由二面角 的大小為 ，得 ，
化簡得 ，又 ，求得 ，于是滿足條件的點 存在，且 .

【解析】(1)根據題意由線面垂直的性質定理即可得到線線垂直，再由已知的線線垂直結合線面垂直的判定定理即可得證。(2)根據題意結合已知條件根據題意建立空間直角坐標系，求出各個點的坐標進而求出各個向量的坐標，設出平面AFG和平面AEF的法向量，由向量垂直的坐標運算公式可求出法向量，再利用向量的數量積運算公式求出余弦值進而得到t的值于是滿足條件的點 G 存在。