Question

（1）閱讀程序框圖，若輸入x=1，輸出y值為66，求輸入的n值；
（2）令輸入n=20，程序框圖表示輸入x，求函數y=f（x）的值的一個算法，請寫出y=f（x）的解析式；
（3）在（2）的條件下，若f（x）=a₂₀（x-1）²⁰+a₁₉（x-1）¹⁹+…+a₁（x-1）+a₀，求a₃．

Answer 1

解：（1）：由已知1+2+3+…+（n+1）=66，得n²+3n-130=0
從而解得n=10（n=-13舍）．
（2）：由程序框圖可得：f（x）=（…（（x+2）x+3）x+…）x+21
=x²⁰+2x¹⁹+3x¹⁸+…+20x+21．
（3）：因為f（x）=[（x-1）+1]²⁰+2[（x-1）+1]¹⁹+…+20[（x-1）+1]+21．
所以：a₃=C₂₀³+2C₁₉³+3C₁₈³+…+18C₃³
=（C₂₀³+C₁₉³+C₁₈³+…+C₃³）+（C₁₉³+C₁₈³+…+C₃³）+…+（C₄³+C₃³）+C₃³
=C₂₁⁴+C₂₀⁴+C₁₉⁴+…+C₅⁴+C₄⁴
=C₂₂⁵
=26334．
分析：（1）因為程序框圖顯示的是求滿足要求的輸入數據的和x=1，可以得到1+2+3+…+（n+1）=66，，再解方程求出n的值即可；
（2）直接由輸入n=20，知道判斷條件不變，然后根據程序框圖即可求出y=f（x）的解析式；
（3）把（2）中求出的結論整理一下，與題中所給條件相結合可得所求為（x-1）³的系數，再結合二項式定理的有關結論即可解題．
點評：本題主要考查程序框圖以及二項式定理的應用．在解決本題第三問的過程中反復運用了二項式定理中“C_n^m+C_n-1^m+…+C_m^m=C_n+1^m+1“這一結論，在記結論時注意它的上下標之間的關系，避免出錯．