Question

【題目】已知函數.

（1）求的單調區間；

（2）若在上的最大值是，求的值；

（3）記,當時，若對任意，總有成立，試求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）增區間；減區間；（2）；（3）.

【解析】

試題分析：（1）借助題設條件運用導數的知識求解；（2）借助題設運用分類整合思想探求；（3）借助題設構造函數,運用導數的有關知識分析探求.

試題解析：

（1）的定義域是..當時，,故在上是增函數; 當時，令，則（舍去）; 當時，,故在上是增函數;當時，,故在上是減函數.

（2）①當時，在上是增函數; 故在上的最大值是 ,顯然不合題意. ②若, 即時, ,則在上是增函數，故在上的最大值是 ,不合題意，舍去.

③ 若, 即時，在上是增函數 ，在上是減函數，故在上的最大值是 , 解得，符合. 綜合①、②、③得: .

（3）, 則,當時，,故時，當在上是減函數，不妨設，則，故等價于，即，記

，從而在上為減函數，由得:

,故恒成立，，又

在上單調遞減，

,.故當時，的最大值為.