Question

（2012•上海）如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥底面ABC，D是PC的中點，已知∠BAC=

π

2

，AB=2，AC=2

3

，PA=2，求：
（1）三棱錐P-ABC的體積；
（2）異面直線BC與AD所成的角的大小（結果用反三角函數值表示）

Answer 1

分析：（1）首先根據三角形面積公式，算出直角三角形ABC的面積：S_△ABC=2

3

，然后根據PA⊥底面ABC，結合錐體體積公式，得到三棱錐P-ABC的體積；
（2）取BP中點E，連接AE、DE，在△PBC中，根據中位線定理得到DE∥BC，所以∠ADE（或其補角）是異面直線BC、AD所成的角．然后在△ADE中，利用余弦定理得到cos∠ADE=

3

4

，所以∠ADE=arccos

3

4

是銳角，因此，異面直線BC與AD所成的角的大小arccos

3

4

．

解答：解：（1）∵∠BAC=

π

2

，AB=2，AC=2

3

，
∴S_△ABC=

1

2

×2×2

3

=2

3

又∵PA⊥底面ABC，PA=2
∴三棱錐P-ABC的體積為：V=

1

3

×S_△ABC×PA=

4

3

3

；
（2）取BP中點E，連接AE、DE，
∵△PBC中，D、E分別為PC、PB中點
∴DE∥BC，所以∠ADE（或其補角）是異面直線BC、AD所成的角．
∵在△ADE中，DE=2，AE=

2

，AD=2
∴cos∠ADE=

22+22-2

2×2×2

=

3

4

，可得∠ADE=arccos

3

4

（銳角）
因此，異面直線BC與AD所成的角的大小arccos

3

4

．

點評：本題給出一個特殊的三棱錐，以求體積和異面直線所成角為載體，考查了棱柱、棱錐、棱臺的體積和異面直線及其所成的角等知識點，屬于基礎題．