Question

（2012•上海）如圖，正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面邊長為1，高為2，M為線段AB的中點．
求：（1）三棱錐C₁-MBC的體積；
（2）異面直線CD與MC₁所成角的大小（結果用反三角函數值表示）．

Answer 1

分析：（1）連接CM，根據M為AB中點，且正方形ABCD邊長為1，得到△BCM的面積為S=

1

4

S_{正方形ABCD}=

1

4

．因為CC₁⊥平面ABCD，是三棱錐C₁-MBC的高，所以利用錐體體積公式，可得三棱錐C₁-MBC的體積；
（2）連接BC₁，正方形ABCD中，因為CD∥AB，所以∠C₁MB（或其補角）為異面直線CD與MC₁所成的角．Rt△MC₁B中，可算出BC₁=

5

，而MB=

1

2

AB=

1

2

，利用直角三角形中三角函數的定義，得到tan∠C₁MB=

BC1

BM

=2

5

，所以異面直線CD與MC₁所成角為arctan2

5

．

解答：解：（1）連接CM，
∵正方形ABCD中，M為AB中點，且邊長為1，
∴△BCM的面積為S=

1

4

S_{正方形ABCD}=

1

4

．
又∵CC₁⊥平面ABCD，
∴CC₁是三棱錐C₁-MBC的高，
∴三棱錐C₁-MBC的體積為：V_C1-MBC=

1

3

×

1

4

×2=

1

6

；
（2）連接BC₁
∵CD∥AB，
∴∠C₁MB（或其補角）為異面直線CD與MC₁所成的角．
∵AB⊥平面B₁C₁CB，BC₁?平面B₁C₁CB，
∴AB⊥BC₁．
Rt△MC₁B中，BC₁=

BC2+CC12

=

5

，MB=

1

2

AB=

1

2

∴tan∠C₁MB=

BC1

BM

=2

5

所以異面直線CD與MC₁所成角為arctan2

5

．

點評：本題給出一個特殊的正三棱柱，求其中的異面直線所成角和三棱錐體積，著重考查了棱錐的體積公式和異面直線及其所成的角等知識點，屬于中檔題．