Question

【題目】已知函數f（x），φ（x）滿足關系φ（x）=f（x）f（x+α）（其中α是常數）．
（1）如果α=1，f（x）=2x﹣1，求函數φ（x）的值域；
（2）如果α= ，f（x）=sinx，且對任意x∈R，存在x1 ， x2∈R，使得φ（x1）≤φ（x）≤φ（x2）恒成立，求|x1﹣x2|的最小值；
（3）如果f（x）=Asin（ωx+）（A＞0，ω＞0），求函數φ（x）的最小正周期（只需寫出結論）．

Answer 1

【答案】
（1）解：因為α=1，f（x）=2x﹣1，

所以φ（x）=（2x﹣1）（2x+1﹣1）=2（2x）2﹣32x+1，

令t=2x（t＞0），所以也就是求函數y=2t2﹣3t+1（t＞0）的值域，

所以φ（x）的值域為

（2）解：因為 ，f（x）=sinx，

所以 ，

因為對任意x∈R，存在x1，x2∈R，使得φ（x1）≤φ（x）≤φ（x2）恒成立，

所以φ（x1），φ（x2）應該分別為函數φ（x）在R上的最小值和最大值，

所以|x1﹣x2|的最小值就是函數φ（x）的半周期，

也就是|x1﹣x2|的最小值為 ．

（3）解：T=
【解析】（1）當α=1時，表示出φ（x），令t=2x（t＞0），使用換元法，討論換元后的值域，（2）當 α = 時，化解得到 φ ( x )=sin2x，對任意x∈R，存在x1，x2∈R，使得φ（x1）≤φ（x）≤φ（x2）恒成立，可得到φ（x1），φ（x2）應該分別為函數φ（x）在R上的最小值和最大值，|x1﹣x2|的最小值就是函數φ（x）的半周期，求出結果即可，（3）根據周期計算公式即可.
【考點精析】關于本題考查的函數的值域，需要了解求函數值域的方法和求函數最值的常用方法基本上是相同的．事實上，如果在函數的值域中存在一個最小（大）數，這個數就是函數的最小（大）值．因此求函數的最值與值域，其實質是相同的才能得出正確答案．