Question

【題目】已知函數f（x）=x+ ，g（x）=﹣x﹣ln（﹣x）其中a≠0，
（1）若x=1是函數f（x）的極值點，求實數a的值及g（x）的單調區間；
（2）若對任意的x1∈[1，2]，x2∈[﹣3，﹣2]使得f（x1）≥g（x2）恒成立，且﹣2＜a＜0，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵ ，其定義域為（0，+∞），

∴ ；又x=1是函數h（x）的極值點，

∴f'（1）=0，即1﹣a2=0，∴a=1或a=﹣1；

經檢驗，a=1或a=﹣1時，x=1是函數h（x）的極值點，

∴a=1或a=﹣1

（2）解：假設存在實數a，對任意的x1∈[1，2]，

x2∈[﹣3，﹣2]都有f（x1）≥g（x2）成立，

等價于對任意的x1∈[1，2]x2∈[﹣3，﹣2]時，都有[f（x）]min≥[g（x）]min，

當x∈[1，2]時， ．

∴函數g（x）在[﹣3，﹣2]上是減函數．

∴[g（x）]min=g（2）=2+ln2．

∵ = ，且x∈[1，2]，﹣2＜a＜0，

①當﹣1＜a＜0且x∈[1，2]時， ，

∴函數 在[1，2]上是增函數．∴[f（x）]min=f（1）=1+a．

由1+a2≥2+ln2，得 ，

又∵﹣1＜a＜0，∴ 不合題意．

②當﹣2＜a≤﹣1時，若1≤x＜﹣a，則 ，

若﹣a＜x≤2，則 ，

∴函數 在[1，﹣a）上是減函數，在（﹣a，2]上是增函數．

∴[f（x）]min=f（﹣a）=﹣2a﹣2a≥2+ln2，得 ，

∴ ．

綜上，存在實數a的取值范圍為

【解析】（1）求出函數的導數，計算f′（1）=0，求出a的值即可；（2）問題等價于對任意的x1∈[1，2]x2∈[﹣3，﹣2]時，都有[f（x）]min≥[g（x）]min ， 根據函數的單調性求出a的范圍即可．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解利用導數研究函數的單調性的相關知識，掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減，以及對函數的極值與導數的理解，了解求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值．